1 极限

1.1 极限的概念

定义：$f(x)$ 是关于 $x$ 的函数，当 $x$ 在变化的过程中 $f(x)$ 趋近于某一定值 $\alpha$，则称 $\alpha$ 是这一过程中的极限（limit）。

1.2 极限的充要条件

函数 $f(x)$ 在某一点 $x_0$ 存在极限的充要条件是 $x_0$ 的左右极限存在且相等。

1.3 极限的求解

1.3.1 无穷大与无穷小

无穷大与无穷小有严格的定义，此处只是概述：

无穷大（infinite）：无穷大是一个变量，是极限不存在的一种情况。正无穷大和负无穷大都是无穷大；
无穷小（infinitesimal）：$x$ 的极限是 0，即 $x$ 的极限是无穷小。

1.3.2 无穷小的比较

设 $a \rightarrow 0,b \rightarrow0$，

当 $\frac{a}{b} = 0$，则称 $a$ 为比 $b$ 更高阶的无穷小；反之，若 $\frac{a}{b} = \infty$，则称 $a$ 是比 $b$ 更低阶的无穷小；
当 $\frac{a}{b} = k$ ，则称 $a$ 与 $b$ 是同阶无穷小，且 $a$ 是 $b$ 的 $k$ 阶无穷小；特别地，当 $k = 1$ 时，称 $a$和 $b$ 是等价无穷小。

1.3.3 常用等价无穷小

当 $x \rightarrow 0$，有以下常用等价无穷小

$x \sim \sin x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim e^x - 1 \sim \ln(1 + x) $
$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
$(1-x)^a \sim ax\ (a \neq 0)$

1.3.4 重要极限

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\ln(1 + \frac{1}{x})^x = \mathrm{e}$
$\lim \limits_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 0$（其实就是等价无穷小）

1.4 极限求解的类型总结

1.4.1 直接代入

如果将特定的 $x$ 值代入 $f(x)$ 没有什么特殊情况（记得考察左右极限），极限就等于代入得到的函数值。

1.4.2 多项式比值

次数高的更厉害，在分子整体就为无穷大，在分母整体就为无穷小（实在不行就洛）。

1.4.3 洛必达法则

形如 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 的式子，其值等于分子分母分别求导后的比值。

此外，$0\cdot\infty$ 和 $\infty - \infty$ 可以转换成上面的形式。

1.4.4 指数型复合函数求极限

形如 $f(x)^{g(x)}$ 的函数，如果带入后是 $0^0,1^\infty,\infty^0$的类型，则直接转换成 $e^{g(x)\ln{f(x)}}$ 的形式，然后用洛必达法则处理指数部分即可。

2 连续

2.1 连续的定义

定义：设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一领域内有定义，如果
$$
\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta y = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}[f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0
$$
则称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

2.2 连续的充要条件

以下三点是函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续的重要条件：

$f(x)$ 在 $x_0$ 处及其左右旁近有定义；
$f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限存在；
$f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限值与函数值 $f(x_0)$ 相等。

2.3 四种间断点

定义：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，如果 $x_0$ 的左右极限存在，则称为第一类间断点（discontinuity of first kind）；其余间断点都称为第二类间断点（discontinuity of second kind）。

第一类间断点：

可去间断点，左右极限存在且相等，该点处函数值与极限不相等或者无定义。例：$f(x) = x,x\neq 0$;
跳跃间断点，左右极限存在且不相等。例：某些分段函数。

第二类间断点：

无穷间断点，左极限或右极限至少有一个不存在。例：$f(x) = \tan x,x = \frac{\pi}{2}$；
震荡间断点，趋近的过程中函数值反复变化，没有定值。例：$f(x) = \sin \frac{1}{x},x = 0$；

2.4 已知连续求参数

根据连续定义列出等式并求解即可。

3 导数

3.1 导数的定义

定义：对于函数 $y = f(x)$，它的导数为 $y’ = f’(x) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

在 $x_0$ 处的导数：$f’(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$；
在 $x_0$ 左侧的导数：${f’}-(x_0) = \lim\limits{\Delta x \rightarrow 0^-}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$；
在 $x_0$ 右侧的导数：${f’}+(x_0) = \lim\limits{\Delta x \rightarrow 0^+}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$。

3.2 导数的充要条件

定义：$f(x)$ 在 $x_0$ 处存在导数（可导）的充要条件是：$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续且 $x_0$ 的左右导数存在且相等。

由此可以看出，连续是可导的必要不充分条件。

3.3 求导的基本公式

3.3.1 部分（反）三角函数的导数

$\tan’x = \frac{1}{\cos^2x} = \sec^2 x$
$\arcsin’ x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\arccos’ x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\arctan’ x = \frac{1}{1 + x^2}$

3.3.2 和、差、积、商的求导法则

和差：$[f(x) \pm g(x)]’ = f’(x) \pm g’(x)$
积：$(f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)$
商：$(\frac{f(x)}{g(x)})’ = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{g^2(x)}$

3.3.3 复合函数求导法则

$f(g(x)) = f’(g(x))g’(x)$

特别地，如果要对形如 $f(x)^{g(x)}$ 的函数求导，可以用到下一节介绍的对数求导法。

3.4 导数计算的六种类型

3.4.1 直接求导

结合初等函数的导数以及函数的求导法则运算即可。

3.4.2 隐函数求导

与一般的函数 $y = f(x)$ 的形式不同，隐函数是 $F(x,y) = 0$ 的形式。

求导方法：

等式两边对 $x$ 求导；
将 $\frac{\mathrm{d}g(y)}{\mathrm{d}x}$ 的部分转化为 $\frac{\mathrm{d}g(y)}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的形式，这样全式就只剩 $x$、$y$ 和 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 三部分了；
把 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 单独提到等式一侧，就可以用 $x$ 和 $y$ 表示导函数了。

3.4.3 参数方程求导

对于一个型如
$$
\begin{cases}
x = f(t) \
y = g(t)
\end{cases}
$$
的参数方程，求导的方法与隐函数求导相似：

两个式子分别对 $t$ 求导；
对两个式子做商得到 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 关于 $t$ 的式子。

3.4.4 对数求导法

对于一个形如 $y = f(x)^{g(x)}$ 的函数，求导方法为：

等式两边取对数，转换成 $\ln y = g(x)\ln f(x)$；
等式两边求导，得到 $\frac{1}{y}y’ = \frac{g’(x)f’{(x)}}{f(x)} + g’(x)\ln f(x)$
把 $y$ 乘到右侧并用 $x$ 表达，得到导函数 $y’ = (\frac{g’(x)f’{(x)}}{f(x)} + g’(x)\ln f(x))f(x)^{g(x)}$

3.4.5 函数可导求参数

抓住可导定义的两个点：

连续：该点函数值与左右函数值三者相等；
左右导数存在且相等。

3.4.6 函数可导求极限

把式子转换成导数的定义式 $f’(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$，这样就把求极限转化成求一点的导数。

3.5 单调性

3.5.1 单调性的概念

函数在某区间的单调性（monotonicity）是指函数值关于自变量变化时的增减情况。

单调性可由导数的正负性判断。

3.5.2 驻点

定义：驻点（Stationary point）是指函数的一阶导数为 0 的点。

与极值点的区别：

极值点是驻点的充分不必要条件；
极值点是一个 $x$ 的值，驻点则真的是一个点。

3.6 凹凸性

3.6.1 凹凸性的概念

凹凸性是用于描述函数变化快慢的函数性质。

凹凸性可以通过二阶导数的正负性判断。

3.6.2 拐点

定义：拐点是二阶导数值为零，且左右两边异号的点。

4 中值定理

罗尔中值定理是端点等高时中间有与 $x$ 轴平行的切线；

拉格朗日中值定理推广到任意斜率直线；

柯西中值定理推广到参数方程。

4.1 罗尔中值定理

如果函数 $f(x)$ 在某一区间 $[a,b]$ 满足以下三个条件：

开区间 $[a,b]$ 内连续；
闭区间 $(a,b)$ 内可导；
端点函数值相等，即 $f(a) = f(b)$。

则存在至少一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f’(\xi) = 0$ 成立。

4.2拉格朗日中值定理

如果函数 $f(x)$ 在某一区间 $[a,b]$ 满足以下三个条件：

开区间 $[a,b]$ 内连续；
闭区间 $(a,b)$ 内可导；

则存在至少一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(b) - f(a) = f’(\xi)(b - a)$ 成立。

5 不定积分

5.1 部分不定积分公式

$\int \frac{1}{x} = \ln |x| + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\mathrm{d}x = \arcsin x + C$
$\int - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\mathrm{d}x= \arccos x + C$
$\int \sec x \tan x \mathrm{d}x= \sec x + C$
$\int \sec x\mathrm{d}x =\ln|\sec x + \tan x| + C$
$\int \sec^2x \mathrm{d}x = \int \frac{1}{\cos^2x} \mathrm{d}x = \tan x + C$
$\int \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x= \arctan x + C$

5.2 四种常用的求不定积分方法

先补充两个简单而基本的不定积分转换：

$\int[f(x) \pm g(x)]\mathrm{d} x = \int f(x)\mathrm{d} x \pm \int g(x)\mathrm{d} x$
$\int kf(x)\mathrm{d} x = k\int f(x)\mathrm{d} x$，此处 $k$ 为常数

5.2.1 凑微分（换元法）

如果函数 $f(x)$ 可以凑成 $y = f(u),u = g(x)$（其中 $u = g(x)$ 可导）的形式，则有
$$
\int f(x)\mathrm{d} x = \int f(u)\mathrm{d} u = F(u)
$$

5.2.2 倒代换

适用于分母次数较高的情况。

令 $x = \frac{1}{t}$，则 $t = \frac{1}{x},\mathrm{d} x = -\frac{1}{t^2}\mathrm{d} t$。将 1 式和 3 式代入不定积分，化简后用 2 式代回即可。

5.2.3 三角替换

$\sqrt{a^2 - x^2}$ 形，换成 $\arcsin x$；
$a^2 + x^2$ 形，换成 $\arctan x$；
$\sqrt{x^2 - a^2}$ 形，不要想着提负号，这儿有一个大根号呢！令 $t = a\tan x$，利用 $1 + \sec^2x = \tan^2 x$ 去掉根号。
$\sqrt{a^2 - x}$ 形，令 $t = a\sec x$，同样利用 $1 + \sec^2x = \tan^2 x$ 去掉根号。

小 tips：如果遇到三角函数和反三角函数的复合函数，可以利用三角形化简。

5.2.4 分部积分

根据函数积的求导法则
$$
\mathrm{d}(uv) = u\mathrm{d}v + v\mathrm{d}u
$$
即
$$
u\mathrm{d}v = \mathrm{d}(uv) - v\mathrm{d}u
$$
对等式两边求积分有
$$
\int u\mathrm{d}v = uv - \int v\mathrm{d}u
$$

分部积分口诀：反对幂指三（靠后的就先与 $\mathrm{d}x$ 结合）。

5.2.4.1 降次法

适用情况：被积函数为多项式与三角函数或指数函数的乘积。

将多项式不断与 $\mathrm{d}x$ 结合，不断降次即可。

5.2.4.2 隐含法

将被积函数直接与 $\mathrm{d}x$ 拆分，即
$$
\begin{align}
\int f(x)\mathrm{d}x & = xf(x) - \int x\mathrm{d}f(x) \newline
& = xf(x) - \int xf’(x)\mathrm{d}x \newline
\end{align}
$$

5.2.4.2 循环法

适用于被积函数为指数函数与正余弦函数的乘积。

通过不断分部，使得某一部分回到原被积函数，移到左侧，两侧除常数即可。

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