质点运动学

质点及其运动描述

质点及其有关概念

定义：

  • 质点（mass point）是指值只有质量而没有体积和形状的点，是一种理想的物理模型；
  • 位置矢量（position vector），简称位矢，是用来描述质点相对于某参考点的「几何位置」的向量，一般用 $\boldsymbol{r}$ 表示，在三维空间下，可以用三个维度的分量表示，即 $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$，其值 $|\boldsymbol{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$；
  • 运动方程是用来描述位矢 $\boldsymbol{r}$ 关于时间 $t$ 的函数，即 $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t) = x(t)\boldsymbol{i} + y(t)\boldsymbol{j} + z(t)\boldsymbol{k}$；
  • 位移（displacement）用于描述质点的位置变换，是矢量，与过程无关，只与初末位矢有关；
  • 路程指质点运动轨迹的长度，是标量，与初末位置无关，只与过程有关，用 $s$ 表示。

位移、速度和加速度

已知一个运动方程 $\boldsymbol{r}(t)$，易知平均速度 $\overline v = \frac{\boldsymbol{r}(t_2) - \boldsymbol{r}(t_1)}{t_2 - t_1}$，当 $\Delta t = t_2 - t_1$ 趋近于零，所得的速度就是瞬时速度，即
$$
\boldsymbol{v}(t) = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{r}(t_2) - \boldsymbol{r}(t_1)}{t_2 - t_1}
$$
对运动方程求导即可得到速度方程
$$
\boldsymbol{v}(t) = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{r}(t_2) - \boldsymbol{r}(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}(t)}{\mathrm{d}t}
$$

相似地，可以求得加速度方程
$$
\boldsymbol{a}(t) = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{v}(t_2) - \boldsymbol{v}(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}(t)}{\mathrm{d} t^2}
$$
可以看出，位移和速度，速度和加速度都是函数和导函数的关系；反之，加速度和速度，速度和位移是函数和原函数的关系，注意求积分会产生的常量 $C$ 的意义。

圆周运动

匀速圆周运动

严格来说，匀速圆周运动应该叫匀速率圆周运动，因为速度的方向一直在变，而速率保持不变。

依据上一节速度的定义，速度依旧可以描述圆周运动，此时称为线速度；此外还可以用角度和半径描述圆周运动 $r\theta$，由于半径是确定的，所以可以用角速度 $\omega$ 来描述位矢的变化，即 $\omega = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\theta_2 - \theta_1}{t_2 - t_1}$，又因为
$$
\boldsymbol{r}(t_2) - \boldsymbol{r}(t_1) = r(\theta_2 - \theta_1)
$$
所以有
$$
\boldsymbol{v}(t) = r\boldsymbol{\omega}(t)
$$

再研究匀速圆周运动的加速度 $a$，思路是：先列出速度与位移的关系，对两边求导就得到了加速度与速度的关系。设质点做圆周运动的过程中，从 $t_1$ 时刻的 $A$ 点移动到 $t_2$ 时刻的 $B$ 点，速度从 $\boldsymbol{v}_1$ 变成了 $\boldsymbol{v}_2$，$\Delta \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}_2 - \boldsymbol{v}_1$ 速率 $v = |\boldsymbol{v}_1| = |\boldsymbol{v}_2|$，由相似三角形可得：
$$
\begin{align}
\frac{|\Delta \boldsymbol{v}|}{v} & = \frac{|AB|}{r} \newline
|\Delta \boldsymbol{v}| & = \frac{v}{r} |AB| \newline
\frac{\mathrm{d}|\Delta \boldsymbol{v}|}{\mathrm{d}t} & = \frac{v}{r} \frac{\mathrm{d}|AB|}{\mathrm{d}t} \newline
\boldsymbol{a} & = \frac{v^2}{r} \newline
& = \omega^2r
\end{align}
$$

变速圆周运动

同样从 $\boldsymbol{v}_1$ 变成 $\boldsymbol{v}_2$，将 $\Delta \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}_2 - \boldsymbol{v}_1$ 拆分成「法向」和「切向」上的变化。

具体地，法向速度变化 $\Delta \boldsymbol{v}_n$ 使得 $\boldsymbol{v}_1 + \Delta \boldsymbol{v}_n // \boldsymbol{v}_2$ 且 $|\boldsymbol{v}_1 + \Delta \boldsymbol{v}_n| = |\boldsymbol{v}_1|$；切向速度变化 $\Delta \boldsymbol{v}_t$ 使得 $\boldsymbol{v}_t // \boldsymbol{v}_2$ 且 $\boldsymbol{v}_1 + \Delta \boldsymbol{v}_n + \Delta \boldsymbol{v}_t = \boldsymbol{v}_2$。即 $\Delta \boldsymbol{v} = \Delta \boldsymbol{v}_n + \Delta \boldsymbol{v}_t$

由此可以得出变速圆周运动的加速度

$$
\begin{align}
\boldsymbol{a} & = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta\boldsymbol{v}}{\Delta t} \newline
& = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta\boldsymbol{v}n}{\Delta t} + \lim\limits{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta\boldsymbol{v}_t}{\Delta t}
\end{align}
$$

分别设法向加速度 $\boldsymbol{a}n = \lim\limits{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta\boldsymbol{v}_n}{\Delta t}$ 和切向加速度 $\boldsymbol{a}t = \lim\limits{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta\boldsymbol{v}_t}{\Delta t}$，则此时有

$$
\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}_n + \boldsymbol{a}_t
$$

注意圆周运动切向和法向加速度!
$$
\begin{align}
\boldsymbol{a}&=\sqrt{a_t^2\boldsymbol{e_t}+a_n^2\boldsymbol{e_n}} \newline
&=\sqrt{(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t})^2\boldsymbol{e_t}+(\frac{v^2}{r})^2\boldsymbol{e_n}}
\end{align}
$$

牛顿运动定律

牛顿第一定律（惯性定律）

物体受到的合外力为零时，速度保持不变，公式表示为
$$
\sum_i\boldsymbol{F}_i = 0 \Rightarrow \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} = 0
$$
其中 $\boldsymbol{F}_i$ 是第 $i$ 个外力，$\boldsymbol{v}$ 是速度，$t$ 是时间。

牛顿第二定律（加速度定律）

定义：动量（momentum）是物体质量与速度的乘积，记作 $\boldsymbol{p}$，即 $\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v}$。

刚体运动

势能

重力势能
$$
E_p=mgh
$$
弹性势能
$$
E_p=\frac{1}{2}kx^2
$$
引力势能
$$
E_p=-\frac{GMm}{r}
$$
电势能
$$
E_p=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r}
$$

动能

两个动能表达式

平动
$$
E_k=\frac{1}{2}mv^2
$$
转动
$$
E_k=\frac{1}{2}J\omega^2
$$

角动量相关

速度与角速度的关系，唯一一个 $\boldsymbol{r}$ 在右边的
$$
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}
$$
力矩与力的关系
$$
\boldsymbol{M}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}
$$
力矩与角加速度的关系
$$
\boldsymbol{M}=J\boldsymbol{\alpha}
$$

离散体的转动惯量
$$
J=\sum m_i{r_i}^2
$$
连续体的转动惯量
$$
J=\int r^2\mathrm{d}m
$$
常见形状的转动惯量

  • 细棒绕中心旋转：$J=\frac{ml^2}{12}$
  • 细棒绕一端旋转：$J=\frac{ml^2}{3}$
  • 圆盘绕中心旋转：$J=\frac{ml^2}{2}$
  • 球体绕中心旋转：$J=\frac{2ml^2}{5}$

常配合平行轴定理：
$$
J=J_c+md^2
$$
角动量和动量的关系
$$
\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}=\boldsymbol{r}\times m\boldsymbol{v}
$$
角动量和角速度的关系
$$
\boldsymbol{L}=J\boldsymbol{\omega}
$$

静电场

库仑定律
$$
\boldsymbol{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\boldsymbol{e_r}
$$

结合电场强度的定义 $\boldsymbol{E}=\frac{\boldsymbol{F}}{q_0}$，得出
$$
\boldsymbol{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1}{r^2}\boldsymbol{e_r}
$$
接下来是两个通过积分得到的特殊情况下的结论，能积就积，积不出来就记着：

  • 电荷线密度为 $\lambda$ 的无限长带电直线，距其 $r$ 一点的电场强度为

    $$
    E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}
    $$

  • 电荷面密度为 $\sigma$ 的无限大带点平面，任意一点的电场强度为
    $$
    E=\frac{\sigma}{2\pi\varepsilon_0}
    $$

高斯定理，这里 $Q$ 表示高斯面内的电荷量，$\Phi_e$ 是电通量
$$
\begin{align}
\Phi_e&=\oint_{S}E\mathrm{d}S \newline
&=\frac{Q}{\varepsilon_0}
\end{align}
$$
注意通过高斯定理的两个等式求电场强度！

前面通过电场强度的定义积分得到了无线长带电直线和无限大带点平面周围点的电场强度，此外特殊的形状如球壳和球体的电场强度就可以通过高斯定理求得。

$A$ 点处的电势
$$
V_A=\int_{AB}E\mathrm{d}l + V_B
$$

电容器
$$
\begin{align}
C&=\frac{Q}{U} \newline
&=\frac{\varepsilon_0S}{d}
\end{align}
$$

磁场

电流的定义
$$
\begin{align}
I&=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \newline
I&=nqSv
\end{align}
$$
毕奥-萨伐尔定律
$$
\begin{align}
\mathrm{d} \boldsymbol{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{e_r}}{r^2} \newline
\boldsymbol{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{e_r}}{r^2}
\end{align}
$$
特殊情况下的磁场强度

  • 无线长直电流，距其 $r$ 处一点
    $$
    \boldsymbol{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi r}
    $$

  • 环形电流，圆心处
    $$
    \boldsymbol{B}=\frac{\mu_0I}{2r}
    $$

洛伦兹力
$$
\boldsymbol{F}=q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}
$$
安培力
$$
\begin{align}
\mathrm{d}\boldsymbol{F}&=I\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{B} \newline
\boldsymbol{F}&=I\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{B} \newline
\end{align}
$$

磁通量
$$
\Phi_m=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{S}
$$
磁场高斯定理：通过闭合曲面的磁通量为零，即
$$
\oint \boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0
$$

电磁感应

法拉第电磁感应定律：感应电动势
$$
\varepsilon=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}
$$