逻辑代数运算
逻辑运算
基本逻辑运算
- 与：全真为真，有假为假。记作 $A+B$；
- 或：全假为假，有真为真。记作 $A\cdot B$ 或 $AB$；
- 非：假变真，真变假。记作 $\overline{A}$。
| 基本定律 | 与 | 或 |
|---|---|---|
| 重叠率 | $A\cdot A=A$ | $A+A=A$ |
| 互补率 | $A\cdot \overline{A}=0$ | $A+\overline{A}=1$ |
| 交换率 | $A\cdot B=B\cdot A$ | $A+B=B+A$ |
| 结合率 | $(AB)C=A(BC)$ | $(A+B)+C=A+(B+C)$ |
| 分配率 | $A(B+C)=AB+AC$ | $A+BC=AB+AC$ |
| 反演律 | $\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B}$ | $\overline{A+B}=\overline{A}\overline{B}$ |
复合逻辑运算
- 与非
- 或非
- 异或
与和或之间依靠德摩根律转换。
基本规则
- 带入规则：在任何一个包含变量 $A$ 的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入 式中所有 $A$ 的位置，则等式仍然成立；
- 反演定理：对于任意一个逻辑式 $Y$，若将其中所有的与或互换，0、1 互换，原变量反变量互换，则得到的结果为 $\overline{𝑌}$；
- 对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等. 对偶式：将与或互换，0、1 互换，即得到对偶式。
逻辑函数
定义：逻辑函数是由有限个逻辑运算符与或非和逻辑变量组成的表达式。
下面介绍两种逻辑函数化简方法。
公式法
利用公式去凑，常用公式：
提取公因子：
$$
AB+A\overline{B}=A
$$吸收法：
$$
A+AB=A
$$消项法：
$$
AB+\overline{A}C+BC=AB+\overline{A}C
$$消因子法：
$$
A+\overline{A}B=A+B
$$
卡诺图
只适用于不超过 4 个逻辑变量的逻辑函数。
步骤：
- 画出对应形状的表格，并加上逻辑变量和格雷码，其中每一个最小格代表一个最小项；
- 根据所给条件填入 0 或 1；
- 画圈，圈越大，越少越好，可以重复，不能遗漏，必须满足相邻关系且是 2 的幂；
- 根据圈内最小项和圈外最小项逻辑变量的区别写出式子。
具有无关项的卡诺图：无关项用 $x$ 表示，可以当做 0 或 1，怎么圈方便就当做什么。